摘 要：传统的均值—方差模型在投资组合实践中的应用通常做法是将参数估计当成真实取值，但是这样却忽略了风险估计对投资决策的影响。因此，本文试图将贝叶斯分析方法引入均值—方差模型，用于估计参数。研究表明这种方法将有效地避免传统均值—方差模型对参数取值的敏感性，能够显著提高模型的稳定性。
关键词：贝叶斯分析、投资组合、均值—方差模型
引言
1952 年马克威兹发表了一篇题为《投资组合选择》的论文，成为现代投资组合理论的开山之作。该理论框架主要思想是将方差用于量化风险，并以此为基础建立风险—收益分析框架。[1]
经典投资组合理论建立在投资者在做出决策时清楚地了解所有信息，特别是金融资产的参数（如资产收益率的期望和方差）的假设之上。但是，这一假设很难成立。投资者往往在不知道确切的参数值时就做出投资决策，这就需要对非确切参数进行估计了。因此，估计误差将会对投资组合带来估计风险。所以，近年来，研究的重点转移到如何解决估计风险在投资组合及最优投资组合中的影响之上。
根据问题的特殊性，我们试图找到一种解决途径——贝叶斯分析方法。在该方法下，收益率的均值和方差等参数设置为随机变量而非某个固定取值。投资者在做出投资决策时所使用的收益率的预测分布，也相应地做出调整。因此，均值—方差模型的高敏感性，可以通过贝叶斯分析方法解决。在贝叶斯方法下，收益率的预测分布只依赖于历史样本数据，这使得模型的稳健性得到提高。
一、传统均值—方差模型及其局限性
（一）马克威兹模型理论假设
首先，投资者依据某一持仓时间内的证券收益的概率分布考虑投资选择；其次，投资者根据证券的期望收益率估计组合的收益风险；再次，投资决定仅依据证券的风险和收益；最后，投资者是理性经济人，追逐利益最大风险最小化。[3] 根据以上假设，马克威兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值—方差模型。
（二）目标函数分析
其中为组合收益，为第只股票的收益，为证券的投资比例，为组合总风险，为两个证券之间的协方差。
上式表明，在限制条件下求解证券收益率使组合风险最小，可通过Lagrange目标函数求得。其经济意义是：投资者预先给定期望收益，通过上式确定总风险最小情况下，每个项目的投资比例。不同期望收益对应不同最小方差组合，最终构成最小方差集合。[4]
（三）结论
通过上面模型，我们可以清楚地找出组合资产风险的影响因素。更重要的是，马克威兹得出了“资产的期望收益由其自身风险的大小来决定”这一结论。在马克威兹创建的“均值—方差”或“均值—标准差”二维投资机会集的有效边界上将该结论阐述得很清楚，图形如下：
图1 均值—标准差二维投资机会集的有效边界
上面的有效边界图形揭示出：单个资产或组合资产的期望收益率由风险测度指标标准差来决定：收益率与风险成正比；风险对收益的决定是非线性（二次）的双曲线（或抛物线）形式，这一结论是基于投资者为风险规避型这一假定而得出的。具体的风险定价模型为：
且为常量；表示个证券收益率的均值（期望）列向量，为资产组合的协方差矩阵，表示分量为的维列向量，上标表示向量（矩阵）转置。[5]
（四）理论局限
马克威兹组合理论是一个投资主体多元化的理论，也是一个能够分析如何有效地分散投资的分析框架。但在实际使用中，马克威兹模型有一定的局限性和困难：
1、马克威兹模型所需要的基本输入包括证券的期望收益率、方差和两两证券之间的协方差。当证券的数量较多时，基本输入估计量非常大，使得马克威兹模型的运用受到很大限制。
2、数据误差带来的解的不可靠性。马克威兹模型需要将证券的期望收益率、期望的标准差和证券之间的期望相关系数作为已知数据作为基本输入。但期望数据是未知的，需要进行统计估计，因此运用这些数据会产生误差风险。
3、解的不稳定性。解的不稳定性限制了马克威兹模型在实际制定资产配置政策方面的应用。如果对改动过的数据进行重新估计，利用马克威兹模型就会得到新的资产权重的解，这意味着必须对资产组合进行调整。
二、贝叶斯分析方法简介及其运用
（一）贝叶斯分析方法简介
贝叶斯分析方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系统地阐述和解决统计问题的方法。一个完全的贝叶斯分析（full Bayesian analysis）包括数据分析、概率模型的构造、先验信息和效应函数的假设以及最后的决策。贝叶斯分析的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合，再根据贝叶斯定理，得出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数。
由Bayesian公式
得：对两个随机变量,条件概率密度:
故，在主观概率论中
或
其中：是的先验概率密度函数。
是出现时，的条件概率密度,又称似然函数。
是的边缘密度，或称预测密度。
是观察值为的后验概率密度。
（二）编程改进
针对马克威兹模型的局限性，我们利用R软件进行编程，让计算机代替人工手算。这可以大大减少工作量，且能降低错误率。
1、极大似然估计程序
图2 极大似然估计算法程序展示
2、改进后的贝叶斯方法程序
图4 贝叶斯算法程序展示
在极大似然估计下所得出的结果要承担估计风险所引起的解的不可靠及不确定性。估计风险来源于投资者在不知道确切的参数值时，为做出投资决策对非确切参数进行了估计，而估计误差将会对投资组合带来估计风险。而在贝叶斯方法下，参数的取值并不是某一固定值，而是被看作随机变量。收益率的预测分布只依赖于历史样本数据，大大降低了进行参数估计所带来的估计误差及风险。当投资者关于风险和收益具有先验分布时，在观察到历史股票收益率之后，可以通过贝叶斯公式得到风险和收益的后验分布，然后计算出下一时刻股票收益率的权重。
三、数据统计及优势分析
（一）数据统计
为证明将贝叶斯分析方法与马克威兹模型相结合后，所得结果将改善传统模型解的不稳定性，我们将用同一组数据分别用传统算法程序、贝叶斯算法程序运行。
图3 历史数据样本展示3
1、极大似然法程序分析结果
图5 极大似然估计算法结果展示
2、贝叶斯方法程序分析结果
图6 贝叶斯算法结果展示
（二）优势分析
1、计算机编程很好地解决了基本输入量过大问题
无论普通算法程序还是贝叶斯算法程序，都为我们节省了大量的运算时间，并提高了计算结果的准确性。两个程序适合大量数据的运算。例如将上证十支股票（深发展A、江西铜业、*ST力阳、中国石化、三一重工、中金黄金、金龙汽车、五粮液、开开实业）2007-2010四年约10000个数据的收益率导入传统均值—方差模型程序，运行时间为10小时，平均一分钟运行循环语句三次。如果采用人工计算这10000个数据，再对所得的20000个结果进行加工，时间成本难以计算，且容易产生计算错误。由此可见，计算机程序确实有效地解决了基本输入量过大的问题。
2、 贝叶斯方法很好地改进了解的不可靠性
马克威兹模型解的不可靠性来源于投资者将未知的证券期望收益率、标准差及期望相关系数利用最大似然估计进行统计估计后作为已知数据代入模型，却忽略由此所产生的估计误差风险。而贝叶斯方法并不依赖于以上数据，仅与历史数据相关，且历史数据恒定，故降低了估计误差风险，使得模型的解的可靠性得以提高。例如，图5中V9的第17与第16行差值为0.07，而图6中的差值却为0.03，图5数据这种跳跃性显示出极大似然估计带来的解的不可靠性，而贝叶斯方法则明显的跳跃性，进而改进了解的不可靠性。
3、贝叶斯方法有效地解决了解的不稳定性
在图5、图6两组数据中，第1行数据表示10支股票的权重，其他行表示运用滑动平均计算所得结果。比较图5与图6的数据，我们不难发现，图6的数据变化幅度小，基本处于恒定状态，而图5的数据经常有跳跃性变化。例如用V9的第一行与第二行数据进行对比，图6中，二者之差为0.3，图5中，二者之差仅为0.05。这样，我们可以得到结论：传统均值—方差模型在实际应用中对于资产收益率的期望和方差取值十分敏感，并且直接使用参数的估计值作为真实取值会产生估计风险，使得投资决策处于非最优状态。我们提出的基于贝叶斯分析方法的均值—方差投资组合选择方式，在进行投资决策时使用资产收益率的预测分布取代参数固定取值的概率分布，从而构建了可以综合考虑参数不确定性和估计风险的分析框架。我们所提出的估计方法可以有效克服传统均值—方差模型对参数的敏感性，从而在很大程度上提高最优投资组合的稳健性。
结 语
我国股票市场的投资者（包括机构投资者）在投资决策中主要应用技术分析面和基本面进行分析，而这两种分析方法都是注重单只证券，基本上忽略了证券收益的相关性。马克威兹投资组合理论的核心思想是利用不同证券收益的相关性分散风险。我们将传统估计方法进行改进，使马克威兹模型更具有实用价值。
通过以上分析论述，贝叶斯方法有效地改善了马克威兹模型的解的不可靠性及解的稳定性，借助计算机软件，我们找到了克服历史样本数据输入量过大的解决方法。改进了以上三点马克威兹模型的缺陷，使得该模型能够顺利地应用于金融领域，切实有效地为投资者处理金融投资问题。
参考文献
%E9%A6%96%E9%A1%B5.
1 本文由嘉兴学院大学生研究训练（SRT）项目资助
2 嘉兴学院2011年校级重点教改项目《依托经济管理实验中心的跨专业综合技能训练项目》
3 数据：2007-2010年股票成交价
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