0 引 言
近年来，随着遥感技术的大力发展，高分辨率遥感影像在军事侦察、测绘、民用等领域都有重大需求。但由于受到在轨遥感器的平台姿态、大气湍流、环境条件、设备老化等因素影响，造成遥感影像质量达不到设计水平，一定程度上限制了遥感影像的判读、解译、目标识别等应用。超分别率重建技术是提高遥感影像质量的重要途径，可以分为单幅图像重建和多幅图像重建，多幅图像重建受数据量大和重建精度的限制，在遥感领域还未得到广泛的应用。由于光学衍射和运动模糊是影响空间分辨率的主要因素，主要采用单幅超分辨率重建技术来改善空间分辨率，提高影像质量。保持边缘是单幅图像的超分辨率重建的关键步骤之一。传统的重采样方法都是全局的方法，未考虑图像局部几何空间结构信息，因此会出现“马赛克”、“锯齿”、边缘模糊等伪信息等现象。边缘检测可以极大地减少分析的数据，同时对边缘区和非边缘区采取不同的方法处理，能够较好地保持图像的结构信息和边缘，抑制模糊和块效应。经典的边缘检测算子虽然具有边缘定位较准确，但也有边缘信息缺失、出现虚假边缘等缺点。
分数阶微分是整数阶微分运算的推广，它是将传统的微积分运算的阶次从整数阶推广到分数的情况。随着科学技术日新月异的发展，分数阶微积分受到各领域的专家学者广泛的关注。本文提出了一种改进的分数阶微分边缘检测算子，获得了较好的检测效果。
1 微分运算对信号作用的分析
对于任一能量型函数（或信号），设其傅里叶变换为，假设函数的整数阶微分存在，即，则傅里叶变换为：，其中，，的指数形式为：
（1）
将式（1）的整数阶推广到任意阶算子，函数对应任意的阶数的傅里叶变换为：，其中，的指数形式为：
（2）
式中：]；的时域形式为。其中：为Gamma函数，；。
从信号调制角度看，信号的分数阶微分的物理意义可以理解为广义的调幅调相，振幅随频率与微分阶数呈幂指数变化，相位是频率的广义希尔伯特矩阵变换。
根据上述关系式可以画出整数一阶、二阶和分数阶的幅频特性曲线如图1所示。
图1 分数阶微分幅频特性曲线
从图1的幅频特性曲线可知，信号函数的微分运算对信号的高频部分具有非线性提升作用，但对信号的低频有非线性消弱作用。
当，时， 微分运算对信号有所提升，整数阶一阶、二阶微分对信号的提升幅度明显大于分数阶微分。
当时，微分运算信号有消弱作用，呈非线性衰减，分数阶微分衰减幅度小于整数阶微分。可见，分数阶微分，不仅可以提升信号的中高频成分，还可以非线性的保留信号的低频成分。
2 分数阶微分算子的实现
分数阶微分是相对于传统整数阶微分提出来的，是整数阶微分的推广。从分数阶微分提出之后，有许多科学家对此问题进行了探讨，但对分数阶微分理论进行系统的研究开始于19世纪中叶。分数阶微分理论经过一百多年的发展，许多科学家从不同的角度进行了不同的尝试，得到不同的分数阶微分定义，经典的定义有G?L定义，R?L定义和Caputo定义。由于对分数阶微分的物理意义不明确，阻碍了分数阶微分在工程领域的应用。随着科学技术的日新月异的发展，相对于整数阶微分，分数阶微分运算在动力学分析、生物工程、信号处理等领域处理过程所拥有的优点逐渐凸显出来，逐渐引起人们的关注并在一些领域尝试应用。
2.1 分数阶微分的差分定义
Grünwald?Letnikov定义将连续函数经典的整数阶微分阶数从整数推广到分数，通过对原整数阶微分的差分近似递推式求极限推衍而来的：
（3）
式中：Gamma函数。根据式（3），若一元信号的持续期间为，将信号持续期间按单位等分间隔进行等分，所以，可以推导出一元信号分数阶微分的差分表达式为：
将上面的一元函数分数阶微分推广到二维图像上，定义二维分数阶微分的差分在方向和方向上的表达式为：
（5）
（6）
用式（5），式（6）所对应的掩模与图像做卷积时较为复杂，所以为了简化计算和便于处理，文献 中重新定义图像信号偏分数阶微分为：
（7）
（8）
相应的轴正方向和轴正方向上的分数阶掩模如图2所示。
图2 x轴和y轴正方向上掩模
2.2 分数阶微分算子的构造
在的图像上，用大小的滤波器掩模进行滤波：
（9）
式中：称为掩模算子；；为了获得一张完整的经过滤波的图像，必须对和依次使用该公式。这样就保证了所有像素点都进行了处理。
对于数字图像，分数阶掩模算子的尺度可以大到等于数字图像本身的尺度，但是计算量太大，也只是分数阶微分解析解的最大逼近。为了实现分数阶滤波器且误差不能太大，取分数阶差分式的前三项，构造的分数阶掩模。
由式（7），式（8）可以得到轴正方向，轴正方向的掩模算子，依次还可以类推到轴负方向，轴负方向的掩模算子。
将这4个分数阶微分算子分别与图像进行分数阶微分，但是考虑到斜边缘一部分漏检，实现微分算子的旋转各向性，于是结合对角线45°，135°，225°，315°四个方向上的分数阶掩模算子。
最后将8个方向上的掩模算子相加后得到最终掩模算子如图3所示。
图3 分数阶微分掩模
3 图像边缘提取的实验仿真与结果分析
在二维灰度图像中，边缘和噪声都是局部不连续的点，噪声和边缘相应的邻域像素的灰度值发生了剧烈的变化。所谓图像边缘就是指其邻域像素灰度值或亮度值有阶跃变化或屋顶变化的像素的集合，它存在于目标与背景，目标与目标之间、区域与区域之间、像元与像元之间。边缘具有有序性和方向性，与邻域的像素具有很高的相关性，而噪声信号具有随机性，与邻域的像素无相关性。在信号处理过程中，利用邻域像素的相关性，可以抵消噪声的影响，加强边缘信号。
3.1 不同阶微分算子边缘检测的对比
根据图3所示分数阶掩模算子，获取图像的边缘信息。首先对图3的掩模算子的每一项除以，完成掩模算子的归一化处理。其次，使用掩模算子对图像进行卷积运算，对于图像的平滑区域，输出的像素值得变化很小；对于图像的像素值变化较大的区域，输出的像素值发生了显著地变化。通过对图像分数阶微分后，边缘的特征显著突出，纹理更加清晰，平滑区域保持不变。最后将经过分数阶微分运算的图像的像素值与原图像中的像素值相减，得到图像的边缘信息。
图4是不同阶微分算子对图像的边缘提取结果，通过对比可以看出不同阶次的微分算子所提取的边缘信息基本相同。
图4 不同阶微分算子提取的边缘信息
实际需要处理的遥感图像不可避免的带有噪声，噪声往往会使图像的边缘模糊，导致一些细节无法检测出来，边缘信息不够连续，然而通过实验结果可以看出：随着阶数的增加，边缘信息基本不变，但是噪声有所增加，说明取较低的阶数时能很好地抑制噪声。说明构造的该微分算子可以有效的提取边缘信息，还可以通过改变分数阶微分的阶次获得连续的边缘信息来满足图像处理的不同需求。
3.2 各种算子边缘检测对比
图5（b）～（f）为经典的1阶Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子与0.6阶分数阶微分算子提取的边缘信息。
从仿真结果图中可以得出：1阶Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子提取的结果很不理想，边缘细
节信息缺失严重。Canny算子和0.6阶微分算子相对于一阶算子能提取更丰富的边缘信息。0.6阶的微分算子提取的边缘信息更丰富，效果更好。因为Canny算子在对图像进行平滑时会造成过度平滑，虽然提高了信噪比，去除了噪声，但是平滑时会使很多边缘也被模糊掉，致使检测到的边缘信息较少。
图5 各种边缘检测算子检测结果
3.3 高斯白噪声条件下各种微分算子检测对比
图6（b）～（f）是对原图像加入均值为0，方差为0.001的高斯白噪声后提取的边缘信息，从图中可知，0.6阶分数阶微分算子相对于1阶Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子能很好的抑制噪声。
图6 高斯噪声图像的检测结果
Canny算子和0.6阶分数阶微分算子都能很好地抑制噪声，但Canny算子在检测时会损失部分水平、垂直方向上的边缘信息，因为Canny算子在对图像平滑后计算梯度幅值时只针对了水平方向和垂直方向。
3.4 不同阶微分算子提取边缘的峰值信噪比
对原图像加入均值为0，方差为0.001的随机噪声，表1为基于不同阶微分算子提取的边缘信息的均方根和峰值信噪比。
表1 不同微分阶数提取边缘的均方误差和峰值信噪比
从表中可以得出：当阶数时，均方误差（MSE）随着阶数的增大而减小，当阶数时，MSE随着阶数的增大而增大，均方误差在0.3阶附近取到最小值，即两幅图像的误差越小，越接近原图像。当阶数时，峰值信噪比（PSNR）随着阶数的增大而增大，当阶数时，PSNR随着阶数的增大而减小，峰值信噪比最大值在0.3阶附近取到。 因为微分阶数很小时，分数阶微分算子对图像的纹理的提升会对图像的边缘提取产生一定的干扰。
4 结 语
本文基于分数阶微分理论，对信号经过微分的幅频特性进行了详细的分析，分数阶微分在增强高频信息的同时，也保留一定的低频信息。根据经典的分数阶微分G?L定义推导出的差分定义，构造了本文的分数阶微分算子，在提升高频信息和保留低频信息方面具有良好的效果。实验结果证明了分数阶微分算子可以弥补传统边缘检测算子提取边缘信息的缺失的缺点，相比于传统算子具有一定的抑制噪声的作用，因此，该方法是一种可行的遥感图像边缘检测方法。
参考文献
孙涛，林立宇.光学遥感影像复原与超分辨率重建.北京：国防工业出版社，2012.
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