0 引 言
人类对现实世界的感知中，80%的信息来源于双眼的视觉，而目前占据主流地位的显示技术仍是二维显示技术，虽然二维显示技术能满足大部分日常生活需求，但与三维显示相比，缺乏临场感和视觉冲击感。随着科学技术的飞速发展，三维立体显示技术越来越成熟，逐渐成为研究的热点。目前三维立体显示技术主要分两种，一种是基于双目视差的立体显示技术，如眼镜/头盔式三维立体显示和光栅式自由立体显示、合成成像立体显示、体三维显示等各种三维显示技术，这些技术都是通过提供具有一定视差的图像，使观察者形成一定的深度印象，从而达到三维立体显示的目的。另外一种则是显示真实立体物体影像的技术，如全息技术，它通过干涉完整地记录了物体的强度、相位等信息，再现像是真正意义的空间立体图像，再现图像可以直接进行裸眼观察，被大多数人认为是未来三维显示最理想的方案。
目前采用全息技术显示三维物体的方法主要有光学全息、数字全息和计算全息。其中计算全息具有噪声低、可重复性好、可实现虚拟物体的实体化等特点。但由于三维物体复杂的数学描述和有限的计算机运算能力，计算效率成为了限制计算全息发展的瓶颈。研究者在不提高计算机硬件的前提下，研究了很多简化三维物体的计算全息算法，以达到提高计算速度的目的：Waters提出通过分别计算单个点光源在全息平面上的复振幅以叠加编码成计算全息图；Leseberg将三维物体各个平面的菲涅尔全息图累和组成具有全息图；张晓洁等人提出了主菲涅尔波带法，在点物散法的基础上，通过规整同一深度下的所有采样物点来提高运算速度；李勇等研究者对全息图进行变量分离，以达到减少计算量，提高运算效率的目的。
本文改进了主菲涅尔波带法以进一步提高全息图生成效率：将分离变量原理与主菲涅尔波带法相结合，从主菲涅尔波带的计算公式中分离出关于两个轴上的独立分量，以独立分量代替主菲涅尔波带，并获取其他采样物点轴上的分量，最后通过计算得到各个菲涅尔波带。与传统主菲涅尔波带法相比，改进后的算法不仅补全了文献中丢失的高频信息，而且计算量进一步减少，运算速度得到较大提高。将生成的计算全息图采用DMD进行光电再现得到了高质量的三维物体再现图像。
1 原 理
1.1 主菲涅尔波带法
若采用平面波垂直照射，对于给定衍射距离上的所有采样物点，它们完整的菲涅尔衍射波带都具有相同的衍射图样，只是菲涅尔波带的中心位置不同，根据这一特性，主菲涅尔波带法只需计算其中一个点的菲涅尔衍射波带，其他采样点的菲涅尔波带可以通过平移操作获得，这个需要计算的点称之为主点，一般取物平面中央位置的采样点，主点的全息图则称之为主菲涅尔波带，所有采样点的菲涅尔波带叠加得到全息图。
在满足奈奎斯特采样定理的前提下，主菲涅尔波带法物平面像素间隔和接收面像素间隔关系另外还满足：
（1）
式中，为光源波长；为接收面像素数目；为垂直衍射距离。依据人眼的分辨率，和同样也有个上限值，不同的衍射距离有不同的上限值。本文从计算方便出发，物平面和接收面的像素间隔都选取下限值。
从理论角度出发，主菲涅尔波带大小可以任意设置，假设主菲涅尔波带大小与接收面一致，如图1 所示，全息图的接收面限制在：
] （2）
] （3）
点和分别位于物平面的中心位置和右上角边缘位置，分别与衍射面上主菲涅尔波带中心和相对应。平移主菲涅尔波带求点的菲涅尔波带时，主菲涅尔波带中心平移的总长度，其中轴和轴平移长度分别为：
（4）
（5）
由图1可见，平移之后，以为中心的主菲涅尔波带只有很少一部分信息被接受面接收，而大部分高频信息都丢失了。为了获得高质量的再现像，主菲涅尔波带必须设置的足够大，才能保证全息图的信息量，即平移后以为中心的主菲涅尔波带恰好能完整覆盖接收面，设此时主菲涅尔波带在轴和轴的长度分别为和，由几何关系可得：
（6）
（7）
根据两平面间采样间隔关系，将距离换算成像素数目，主菲涅尔波带的像素数目最小应满足：
（8）
式中，和的值通常不是整数，常取比其值大的最小整数。
图1 主菲涅尔波带法平移原理图
1.2 改进算法
在主菲涅尔波带法的基础上，利用分离变量原理做了相应改进，基本思路是利用主菲涅尔波带在轴和轴上的独立分量代替主菲涅尔波带，以达到减少内存空间占用和计算量，提高计算效率的目的。根据菲涅尔的基本衍射公式，主菲涅尔波带在轴和轴上的独立分量和的离散形式分别满足以下公式：
22z] （9）
22z] （10）
（11）
式中：]；]的正整数。
改进算法的基本思路如图2所示。按上述公式计算得到主菲涅尔波带的独立分量和，将平移操作的对象从主菲涅尔波带转换为和，轴，轴上的接收窗口分别限制在]和]以匹配显示器件的分辨率，按坐标相对位置平移得到其他采样点在轴独立分量的独立分量和轴的独立分量，通过矩阵乘法即可得到每个采样点的菲涅尔波带，叠加组合成全息图。
计算模拟运算中，以双精度类型将的主菲涅尔波带保存到内存中，需要内存连续空间GB，改进的算法以独立 分量x和y代替主菲涅尔波带，此过程仅需要消耗内存连续空间 GB，与未改进相比，减少了内存占用空间 GB，共少计算了个元素的值。当实验条件确定时，改进前后内存占用空间与衍射距离的关系如图3所示。由图3可知，衍射距离越远，改进后的算法在内存占用和计算量上越有优势。
图3 改进前后内存占用空间对比
2 实 验
2.1 计算全息图
国际象棋中的“国王”、“皇后”和全息图的位置关系如图4（a）所示，“皇后”和“国王”分别位于全息图处和处，共有12 994个采样物点。实验中采用的半导体绿色激光器作为光源，计算像素数目为的全息图，以匹配DMD的分辨率。设定原始物图大小为，像素数目为，接受面像素数数目为，像素间隔为。
根据公式（8）计算处的主菲涅尔波带，满足要求的主菲涅尔波带的像素数为，以双精度类型存储，的主菲涅尔波带需要的内存连续空间，受限于实验室电脑（3 GB内存）内存空间的限制，无法将如此庞大的单个矩阵数组存放到内存中，故未改进的主菲涅尔波带法的程序无法顺利模拟，而改进后的算法，的独立分量和独立分量仅占用的内存连续空间，完全满足运行环境。改进后算法用时150 s得到如图4（b）所示的全息图，并进行了DMD光电再现实验。
图4 原始物图和计算全息图
2.2 DMD光电再现
DMD再现实验采用如图5所示的光路，对图4（b）的全息图进行了再现，图中采用532 nm的半导体绿色激光器，实验采用的DMD分辨率为1 024（H） ×768 （V），单个微镜的尺寸为，镜面之间的间隙为。激光经扩束准直后，照射到DMD上，全息图通过计算机加载到DMD上，分别在离DMD距离为3.5 m和5.85 m处获得如图6所示的再现像。
当接收屏与DMD相距3.5 m时，皇后的像清晰可见而国王模糊不清，如图6（a）所示；当相距5.85 m时，远处的国王像清晰可见而近处的皇后模糊不清，如图6（b）所示，不同衍射距离得到相应位置物体的清晰再现像。
Laser：532 nm的半导体绿色激光器；BE：扩束准直装置；
DMD：数字微镜器件； Camera：数码相机
图5 DMD全息显示系统
图6 DMD光电再现
3 结 语
本文对主菲涅尔波带法进行改进，将二维全息图信息变换到一维空间分别进行运算合成以提高计算效率，依据再现器件要求进行尺寸匹配，得到适合的计算全息图。实验结果表明：本文方法具有快速高效生成三维物体全息图的优点，再现图像质量较高，对于三维物体动态显示具有很好的应用前景。
注：本文通讯作者为顾济华。
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